7.- GeoGEBRA

 UTILISAMOS GEOGEBRA COMO UNA REGLA  PARA SABER LAS MEDIDAS Y LA DISTANCIA Y EN ESO NOS AYUDO MUCHO A CALCULAR LAS DISTANCIAS 

Usamos imágenes para guiarmos y hacer los procedimientos necesarios para calcular algunas medidas usamos 3 tipos de eclipses y imágenes algo diferentes para que se entendiera mejor.

 

6.- ACTIVIDADES

EN ESTAS ACTIVIDADES TRATAMOS DE HACER UTILIZAR EL TEOREMA DE TALES Y DE PITAGORAS QUE SE HABIAN VISTO EN LAS ACTIVIADES PASADAS LAS CULAES NOS AYUDARON A ENTENDER Y BUCAR LA SONMBRA Y EL RADIO DE ELLAS.

 

2.- INTRODUCCION

 INTRODUCCION 

ESTE TEMA SE TRATA DE LOS ECLIPSES Y LA MATEMATICA 

Eclipse lunar..

Un eclipse lunar (del latín eclipsis y este del griego antiguo Εκλείψεις) es un evento astronómico que sucede cuando la Tierra se interpone entre el Sol y la Luna, generando un cono de sombra que oscurece a la Luna. Para que suceda un eclipse, los dos cuerpos celestes, la Tierra, la Luna y el sol; deben estar exactamente alineados o muy cerca de estarlo, de tal modo que la Tierra bloquee los rayos solares que llegan al satélite, por eso los eclipses lunares solo pueden ocurrir en la fase de luna llena.

 

TEOREMA DE TALES 

El teorema de Tales es una ley de la geometría que nos indica que si se traza una línea paralela a cualquiera de los lados de un triángulo tendremos como resultado un triángulo semejante el triángulo original.

Teorema de Pitágoras

Es una fórmula, proveniente de la Geometría Euclidiana denominada así en honor al matemático griego Pitágoras, que establece una relación entre los 3 lados de un triángulo rectángulo. Es decir, conocidos dos de ellos es posible calcular el otro con esta ecuación.

DISTANCIA ENTRE SOL Y LA LUNA 

La distancia media a lo largo de la órbita resultó ser efectiva- mente 384.000 Kilómetros. La determinación de la distancia al Sol la vamos a llevar a cabo siguiendo, en líneas generales, el méto- do expuesto por Aristarco.

DISTANCIA ENTRE LA TIERRA Y LA LUNA

Luna/Distancia a la Tierra

384,400 km

DISTANCIA ENTRE LA TIERRA Y EL SOL

150.000.000 km

La distancia entre la tierra y el sol es 150.000.000 km, es decir, unas 100 veces el diámetro del sol. Sitúa las dos esferas del punto anterior a una distancia tal que represente la posición del sol y la tierra.

1.- PRESENTACION

PRESENTACION 

 MATERIA : MATEMATICAS (PROYECTO)

PROFESOR:DR HUGO LEON ALCAZAR

ALUNMAS: JHOANA DEL ROZARIO  Y LIZTEH GUADALUPE PEREIRA PERES 

TEMA:ECLIPSES SOLARES 

5.- TEOREMA DE TALES

 

Teorema de Tales

El teorema de Tales es una ley de la geometría que nos indica que si se traza una línea paralela a cualquiera de los lados de un triángulo tendremos como resultado un triángulo semejante el triángulo original.

Dicho de otro modo, si cortamos un triángulo dibujando una recta paralela a uno de sus lados, obtendremos un triángulo semejante al previamente existente.

En este punto, cabe señalar que dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son congruentes (miden lo mismo) y sus lados homólogos son proporcionales entre sí.

Para entenderlo mejor, observemos la siguiente figura:

Por el teorema de Tales se puede concluir que α=δ y β=ε

Además, como mencionamos previamente, los lados son proporcionales, por lo que se cumple que:

Una anécdota relatada por el historiador Plutarco cuenta que Tales de Mileto, en uno de sus viajes, hizo uso de este teorema para conocer la altura de las pirámides de Guiza (las de Keops, Kefrén y Micerino) en Egipto. Así, decidió poner una vara en vertical contra el suelo, esperando a que la longitud del objeto sea igual a la sombra que proyectaba. En ese momento, la sombra de la pirámide también sería igual a la altura de esta. En este caso, los triángulos semejantes son:

• El que tiene como dos de sus lados la vara y su sombra.
• El triángulo que tiene como uno de sus lados la altura de la pirámide y, como otro lado, la sombra de esta.

Para entenderlo mejor, imaginemos en la figura de arriba que la pirámide es aquella formada por los vértices D, E y F, su altura es el segmento HE y su sombra, IE. En tanto, la vara es el segmento AB y su sombra, CB. Por tanto, AB/CB=HE/IE. Esto, tomando en cuenta que los rayos del sol son paralelos (no se cruzan ni en su prolongación), por lo que formarán el mismo ángulo con la vara que con la pirámide (ángulos α y β son iguales).

Ejemplo el teorema de Tales

Para entender mejor el teorema de Tales, observemos la siguiente figura:

Si BC mide 7,3 metros, DE mide 3,6 metros y AB mide 6,2 metros. ¿Cuál es la longitud de AD?

Despejamos en la fórmula mostrada previamente y tenemos que:

7,3/3,6=6,2/AD

2,0278=6,2/AD

AD=3,0575 metros

Extensión del teorema de Tales

El teorema de Tales puede extenderse al análisis de dos líneas cualquiera que son cortadas por otras líneas paralelas entre sí, como vemos en la siguiente imagen:

Entonces, se cumple que:

Lo anterior se cumple porque debemos pensar en esas líneas como parte de un triángulo o, viéndolo de otro modo, si extendemos las líneas AB y CD, estas se cruzarán. Mejor lo vemos en la siguiente imagen:

Segundo teorema de Tales

Existe también un segundo teorema de Tales según el cual, si tenemos un triángulo formado por el diámetro de una circunferencia y dos líneas secantes a la misma (cortan la figura en dos puntos), aquel ángulo que está frente al diámetro es recto, es decir, mide 90º.

Cabe recordar que un diámetro es aquel segmento que, pasando por el centro de la circunferencia, uno dos puntos opuestos de dicha figura.

Lo anterior lo podemos observar mejor en la siguiente imagen:

Este teorema lo podemos comprobar tomando en cuenta que AC, AD y AB miden lo mismo y son iguales al radio de la circunferencia (el radio es cualquier segmento que une un punto de la circunferencia con el centro de la figura y es igual a la mitad del diámetro). Entonces, lo triángulos ABC y ABD son isósceles y sus dos lados que son similares están opuestos a ángulos que también miden lo mismo, es decir:

AC=AD=AB= r (radio de la circunferencia)

γ=β y α=δ

Luego, si vemos el triángulo CBD y recordamos que los ángulos internos de un triángulo deben sumar 180º, tenemos que:

γ+β +α+δ=180º

2β+2α=180º

2(α+β)=180º

α+β=90º

Por lo tanto, el triángulo CBD es un triángulo rectángulo

ALGUNOS VIDEOS DE CUALES NOS GUIAMOS:

4.- TEOREMA DE PITAGORAS

 

Teorema de Pitágoras

Es una fórmula, proveniente de la Geometría Euclidiana denominada así en honor al matemático griego Pitágoras, que establece una relación entre los 3 lados de un triángulo rectángulo. Es decir, conocidos dos de ellos es posible calcular el otro con esta ecuación.

La definición formal del Teorema de Pitágoras establece que:

El cuadrado de la hipotenusa h de un triángulo rectángulo cualquiera, es igual a la suma del primer cateto 1 al cuadrado más el segundo cateto 2 también al cuadrado.

Escrito en lenguaje algebraico, esta relación quedaría como:

${h}^{2}={{c}^{2}}_{1}+{{c}^{2}}_{2}$

Donde ${C}_{1}$ y ${C}_{2}$ son los catetos del triángulo rectángulo. Otra forma de interpretar al Teorema de Pitágoras, es a través de las áreas que forman los cuadrados representados por cada uno de los lados del triángulo rectángulo.

Si a cada uno de los lados del triángulo rectángulo lo asociamos con el lado de un cuadrado, la ecuación del Teorema de Pitágoras nos diría que: el área del cuadrado de lado $h$ es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado ${C}_{1}$ y ${C}_{2}$.

Demostración del teorema de Pitágoras

Existen numerosas vías para demostrar al teorema de Pitágoras, algunas mas gráficas otras recurren al álgebra, en este caso desarrollaremos una alternativa intermedia que puede realizarse con fórmulas y de manera gráfica. Cada paso lo ilustraremos con imágenes para facilitar la demostración.

Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo cualquiera con lados $hxy$, donde $h$ es la hipotenusa y tanto $x$ como $y$ son catetos.

Comencemos por trazar los lados que faltan para formar un cuadrado de lado $h$ que encierre al triangulo rectángulo.

Ahora, vamos a encerrar al cuadrado con otro cuadrado, de tal forma que los vértices del cuadrado de lado $h$ toquen a los lados del nuevo cuadrado. Examinando la figura, vemos como se repite el triángulo inicial $hxy$ en la periferia, apareciendo también las distancias $x$ y $y$ en los lados del nuevo cuadrado.

Podemos escribir el área del cuadrado de lado $x+y$ como la suma del área de los triángulos $hxy$ de la periferia mas el área del cuadrado interior de lado $h$.

${\left(x+y\right)}^{2}=4 \frac{x\bullet y}{2}+{h}^{2}$

Desarrollamos.

${x}^{2}+2xy+{y}^{2}=2xy+{h}^{2}$

Simplificamos el término $2xy$ de ambos lados.

${x}^{2}+{y}^{2}={h}^{2}$

Obtenemos finalmente la fórmula del teorema de Pitágoras.

Otra forma de demostrar al teorema de Pitágoras, muy similar a la que hemos recurrido en este caso, hace uso de las áreas de los cuadrados y triángulos que se forman, pero desplazándolas de otra manera.

En este caso, vamos como se forma nuevamente el cuadrado de lado $h$ y, dentro de él coexisten 4 triángulos $xyh$ y un cuadrado en el centro de lado $y-x$. Por tanto, podemos escribir el área del cuadrado de lado $h$ como:

${h}^{2}=4\frac{x\bullet x}{2}+{\left(y-x\right)}^{2}$

Desarrollamos y simplificamos la expresión.

${h}^{2}=2xy+{y}^{2}-2xy+{x}^{2}={y}^{2}+{x}^{2}$

Obtenemos, nuevamente, al teorema de Pitágoras.

${h}^{2}={y}^{2}+{x}^{2}$

Teorema de Pitágoras fórmula

La fórmula del teorema de Pitágoras permite determinar un lado desconocido teniendo como dato a los otros dos. A continuación, te presento las variantes del teorema de Pitágoras, con las que podrás determinas cualquiera de los lados de un triángulo rectángulo:

Calcular el lado ${C}_{1}$

${c}_{1}=\sqrt{{h}^{2}-{{c}^{2}}_{2}}$

Calcular el lado ${C}_{2}$

${c}_{2}=\sqrt{{h}^{2}-{{c}^{2}}_{1}}$

Calcular a la hipotenusa

$h=\sqrt{{{c}^{2}}_{1}+{{c}^{2}}_{2}}$

A continuación, te dejo tres ejemplos de aplicación del teorema de Pitágoras con las tres fórmulas anteriores. Ten en cuenta que la ecuación que permite calcular a ${c}_{1}$ o a ${c}_{2}$ es la misma, solo debes considerar que a la izquierda va el lado desconocido y dentro del radical el lado conocido junto a la hipotenusa.

Este conjunto de fórmulas de Pitágoras se conoce como los 3 corolarios del teorema de Pitágoras.

Entre matemáticos expertos en historia de las matemáticas, se dice que es el teorema con más demostraciones en las matemáticas.

El par de demostraciones que hemos adjuntado en este post son apenas una mínima fracción de las existentes incluso.

Ejemplo 1: cálculo de la hipotenusa de un triángulo rectángulo

Dado el triangulo rectángulo de la figura, calcule la longitud de su hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras.

Solución:

Comenzamos por identificar los lados del triángulo. El primer cateto será ${c}_{1}=4$, el segundo ${c}_{2}=5$ y la hipotenusa $h$, la cual es desconocida. Sustituimos los valores en la fórmula para sacar la hipotenusa:

${h}^{2}={c}_{1}^{2}+{c}_{2}^{2}$

Sustituyendo.

${h}^{2}={4}^{2}+{5}^{2}$

Calculamos los cuadrados de 4 y 5.

${h}^{2}=16+25=41$

Ahora, aplicamos raíz cuadrada en ambos miembros para despejar la hipotenusa.

$h=\sqrt{41}$

Podemos concluir este ejemplo aportando dos observaciones. Primero, que no importa el orden que se le dé a los catetos en la ecuación, el resultado será el mismo. Si en lugar de ${c}_{1}=4$ y  ${c}_{2}=5$ hubiésemos escrito ${c}_{1}=5$ y ${c}_{2}=4$, se obtiene que:

$h=\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}}=\sqrt{41}$

Por otro lado, si aprendiste bien sobre el despeje de radicales con índice 2, sabrás que hay dos soluciones: una positiva y otra negativa ¿por qué no escogimos la negativa en lugar de la positiva? Porque en este caso estamos tratando con distancias y estas siempre son positivas.

Ejemplo 2: calcular catetos conociendo la hipotenusa

Determine la longitud del cateto desconocido aplicando la fórmula correcta del teorema de Pitágoras.

Solución:

Teniendo en cuenta la conclusión dada en el ejemplo anterior, sabemos que podemos calcular la longitud del cateto desconocido aplicando la siguiente ecuación:

$x=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=\sqrt{25-16}$

$x=\sqrt{9}=3$

El cateto restante tiene una longitud de 3 centímetros.

Consideraciones del Teorema de Pitágoras

Recapitulando todo lo mencionado hasta el momento, es necesario aclarar algunas dudas que pueden surgir al utilizar la ecuación de Pitágoras.

• No puede utilizarse para triángulos que no sean rectángulos. Pero si es posible trazar segmentos dentro de un triángulo irregular para formar en su interior triángulos rectángulos

• Como sabes, al despejar una raíz cuadrada el resultado puede ser positivo o negativo. Siempre se toma el resultado positivo porque los lados y las longitudes son siempre positivas
• Los catetos ${C}_{1}$ y ${C}_{2}$ no tienen una distinción particular en la ecuación. Cualquier lado que no sea la hipotenusa puede llamarse ${C}_{1}$ e inmediatamente el otro será el cateto ${C}_{2}$
• En problemas de decidir el camino más corto donde entran en juego triángulos rectángulos, la distancia de la hipotenusa es menor la suma de las longitudes de los catetos $h<{c}_{1}+{c}_{2}$, por tanto, el camino más corto es la hipotenusa

Aplicaciones del Teorema de Pitágoras

Siempre que en un problema se presente un triángulo rectángulo o la necesidad de medir la distancia euclídea más corta entre dos puntos, el Teorema de Pitágoras estará allí para ayudarnos. Algunas de las aplicaciones más comunes son:

• Calcular alguno de los lados de un triángulo rectángulo.
• Determinar si un triángulo es o no rectángulo. Para ello debe cumplirse que:

${h}^{2}={{c}^{2}}_{1}+{{c}^{2}}_{2}$

• Para calcular el módulo de un vector en dos y tres dimensiones.

$‖V‖=\sqrt{{{v}^{2}}_{x}+{{v}^{2}}_{y}}  con V\in {R}^{2}$

$‖V‖=\sqrt{{{v}^{2}}_{x}+{{v}^{2}}_{y}+{{v}^{2}}_{z}}  con V\in {R}^{3}$

• Para medir la distancia entre dos puntos en el plano o el espacio tridimensional.

$d\left(x,y\right)=\sqrt{{\left({x}_{2}-{x}_{1}\right)}^{2}+{\left({y}_{2}-{y}_{1}\right)}^{2}}$

$d\left(x,y,z\right)=\sqrt{{\left({x}_{2}-{x}_{1}\right)}^{2}+{\left({y}_{2}-{y}_{1}\right)}^{2}+{\left({z}_{2}-{z}_{1}\right)}^{2}}$

• Los triángulos rectángulos son la base para la descripción de las identidades trigonométricas en la circunferencia unitaria. Se llama unitaria porque tiene radio igual a 1.

Si tomamos en cuenta el ángulo $\theta$, nos queda la siguiente descomposición en base al teorema de Pitágoras:

$1={\mathrm{sin}}^{2}\theta +{\mathrm{cos}}^{2}\theta$

Esta identidad recibe el nombre de identidad Pitagórica.

• En el modelado matemático de problemas físicos y de análisis matemático. Algunas de estas aplicaciones son:

• La altura de una escalera, la sombra de un árbol o un edificio. En general, para problemas en los que es necesario calcular proyecciones.
• Para medir las proyecciones de una fuerza sobre el eje que produce trabajo (teorema del trabajo y la energía). Esto aplica para descomponer cualquier magnitud física de tipo vectorial.
• Al descomponer alguna de las leyes de Newton del movimiento en las componentes de los ejes coordenados.

• En geometría plana, para subdividir polígonos regulares como rombos o pentágonos, al momento de analizar propiedades como área, apotema y perímetro.
• En problemas de optimización, la mayoría de las soluciones converge en encontrar triángulos rectángulos para modelar el problema planteado.
• En cálculo integral, el teorema de Pitágoras es fundamental para el método de integración por sustitución trigonométrica, se emplea para medir la longitud de curvas aplicando una descomposición diferencial de la misma en forma de triangulo rectángulo.
• En geometría analítica, el teorema de Pitágoras es fundamental para descomponer vectores y para describir a las secciones cónicas como la circunferencia, parábola, elipse y la hipérbola.
• En números complejos, para transformar de la forma binomial $a+ib$ a la forma exponencial $r{e}^{i\theta }$, el módulo del fasor $r$ se calcula aplicando la fórmula del teorema de Pitágoras.

 

Y estas siguen siendo solo un subconjunto muy pequeño de todas las aplicaciones que posee el teorema de Pitágoras, podríamos entender el montón de demostraciones, como una forma natural del teorema para manifestarse en todas las ramas de las ciencias; no solo en matemáticas y en física.

¿Para qué sirve el Teorema de Pitágoras?

A partir de las secciones anteriores, sabemos que el teorema de Pitágoras permite hallar la longitud de cualquiera de los tres lados de un triángulo rectángulo cuando conocemos dos de ellos, pero en la vida real ¿dónde entra en juego la fórmula de Pitágoras?

Ya que relaciona distancias entre sí, es una fórmula útil a la hora de construir casi cualquier cosa. Los arquitectos e ingenieros de la antigüedad emplearon el Teorema de Pitágoras (muchas veces sin saber que lo que era) para construir puentes, muros y escaleras perfectamente alineados y perpendiculares.

En carpintería, fabricación de piezas mecánicas y estructuras, es una herramienta fundamental para unir por sus extremos piezas para que queden perfectamente perpendiculares entre ellas.

Para la creación de videojuegos 2D y 3D, el Teorema de Pitágoras y la geometría (analítica y elemental) permiten medir distancias entre sólidos para el cálculo de colisiones, velocidades, aceleraciones y trayectorias. Sin ir más lejos, todos los motores gráficos de cualquier aplicación informática implementan el teorema de Pitágoras para la localización de los elementos en ella.

Los sistemas de posicionamiento global, conducción autónoma y CNC (Control Numérico Computarizado), utilizan polígonos y técnicas de triangulación basadas en el teorema de Pitágoras para delimitar zonas, establecer rutas y medir distancias.